Sujet Olympiades de mathématiques métropole 2023 - Une descente infinie

Dans tout l’exercice, \(\alpha\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(4\) .

On considère l’équation \((E)\) ci-dessous dont l’inconnue est le triplet d’entiers relatifs \((x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}\) .

\((E) : x_1^2+x_2^2+x_3^2=\alpha x_1x_2x_3\)

Le but de l’exercice est de démontrer que le seul triplet dans  \(\mathbf{Z^3}\) solution de  \((E)\) est \((0,0,0)\) .

Partie 1
Soit  \(b\) et  \(c\) deux réels. On considère la fonction polynôme  \(P\) de  \(\mathbf{R}\) dans  \(\mathbf{R}\) définie par \(P(x)= x^2+bx+c\) . Un réel  \(r\) tel que  \(P(r)=0\) est appelé racine de \(P\) . On suppose dans cette partie que  \(P\) admet deux racines distinctes, \(r_1\) et \(r_2\) . Ainsi, \(P(x)= (x-r_1)(x-r_2)\)   pour tout réel \(x\) .
1. Exprimer  \(b\) et  \(c\) en fonction de  \(r_1\) et \(r_2\) .
2. On suppose ici  \(b\le0\) et \(c\ge0\) .
Que peut-on dire du signe de  \(r_1\) et  \(r_2\) ?

Partie 2
1. a. On suppose que le triplet  \((x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}\) est solution de l’équation  \((E)\) . Montrer que \((|x_1|,|x_2|,|x_3|)\)  est aussi solution de l’équation \((E)\) .
    b. En déduire que, s’il existe un triplet d’entiers relatifs différent de  \((0,0,0)\) solution de l’équation \((E)\) , alors il existe un triplet d’entiers naturels différent de  \((0,0,0)\)  solution de l’équation \((E)\) .
2. Si le triplet  \((x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}\) est solution de l’équation \((E)\) , que dire du triplet \((x_2,x_1,x_3)\) ?
3. En déduire que, si l’équation \((E)\)  admet une solution dans  \(\mathbf{Z^3}\) différente du triplet
\((0,0,0)\) , alors elle admet une solution  \((x_1,x_2,x_3)\)  dans  \(\mathbf{N^3}\) différente du triplet  \((0,0,0)\) et telle que \(x_1\le x_2 \le x_3\) .

Partie 3
On suppose donc dans cette partie qu’il existe un triplet d’entiers naturels  \((x_1,x_2,x_3)\) différent de  \((0,0,0)\) solution de  \((E)\) et tel que  \(x_1\le x_2\le x_3\) . On fixe un tel triplet.
1. Démontrer que \(x_1>0\) .
2. On définit la fonction  \(Q\) de  \(\mathbf{R}\) dans  \(\mathbf{R}\) par \(Q(x) = x^2-\alpha x_1x_2x+x_1^2+x_2^2\) . Un réel  \(r\) tel que  \(Q(r)=0\) est appelé racine de \(Q\) .
    a. Soit  \(y\) un réel. Montrer que  \((x_1,x_2,y)\) est solution de  \((E)\) si, et seulement si,  \(y\) est une racine de \(Q\) .
    b. Indiquer une première racine de  \(Q\) à partir des données de l’énoncé.
    c. Vérifier que  \(Q(x_2)=(3-\alpha x_1)x_2^2+(x_1^2-x_2^2)\) et en déduire que \(Q(x_2) <0\) .
    d. Quel est le signe de  \(Q(0)\) ?
    e. Démontrer que  \(Q\) a deux racines distinctes : celle donnée précédemment et une autre notée  \(y\) ; ranger dans l’ordre croissant les nombres \(0\) ,  \(x_2\) et  \(x_3\) et  \(y\) et justifier qu’ils sont tous distincts.
    f. Montrer que  \((x_1,x_2,y)\) est un triplet d’entiers naturels solution de l’équation \((E)\) .
3. Que donne le raisonnement de la question  \(2\) en remplaçant le triplet solution  \((x_1,x_2,x_3)\)  par le triplet constitué de  \(x_1,x_2,y\) rangés dans l’ordre croissant ?
4. Expliquer comment aboutir à une absurdité et conclure quant aux triplets d’entiers relatifs solutions de l’équation \((E)\) .
5. Démontrer le résultat suivant :
« Soit  \(n\in \mathbb{N}\) et  \(\alpha \in \mathbb{N}\) avec  \(\alpha>n\ge2\) .
L’équation  \(x_1^2+ \cdots+ x_n^2=\alpha x_1 \ldots x_n\) d’inconnue  \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\) n’admet pas de \(n\) -uplet d’entiers relatifs solution autre que \((0,0,\ldots,0)\) . »